La teoria dei "ponti" topos-teorici:
un'introduzione concettuale
di Olivia Caramello
La matematica è divisa in diverse aree distinte: geometria, teoria dei numeri, algebra, analisi, logica matematica, ecc. Ognuna di queste aree si è evoluta nel corso degli anni sviluppando le proprie idee e tecniche, e ha ormai raggiunto un notevole grado di specializzazione. Ora, ancora più che in passato, sentiamo il bisogno di teorie unificanti che possano collegare intradisciplinarmente diverse aree della matematica con i loro diversi insiemi di concetti, oggetti e metodi, in modi nuovi e potenti, fornendo quindi strumenti efficaci per risolvere problemi di lunga data. È accaduto più volte che le soluzioni a problemi profondi in un campo siano state ottenute per prime, o solo, utilizzando metodi di altri campi, e questo indica che la matematica dovrebbe essere vista come un insieme coerente piuttosto che come una raccolta di campi separati. Si pensi ad esempio alla geometria analitica, che consente lo studio di forme geometriche utilizzando la manipolazione algebrica, o alla nozione di spettri di Grothendieck, che consente lo studio di oggetti discreti utilizzando un'intuizione geometrica continua.
L'importanza dei "ponti" tra ambiti diversi risiede nel fatto che consentono di trasferire conoscenze e metodi tra i diversi ambiti, in modo che i problemi formulati nel linguaggio di un ambito possano essere affrontati (ed eventualmente risolti) utilizzando tecniche di un ambito diverso e i risultati di un ambito possano essere opportunamente trasferiti ai risultati di un altro.
Qualche anno fa, ho avuto l'intuizione che la teoria dei topoi di Grothendieck potesse fornire un potente mezzo per unificare diverse teorie matematiche. Più precisamente, ho immaginato che la possibilità di rappresentare i topoi in più modi potesse essere sfruttata per costruire "ponti" che interconnettessero diverse teorie e consentissero un trasferimento di informazioni tra di esse.
I topos sono concetti logici astratti che si trovano a un livello di generalità ideale per far luce sulla matematica nel suo complesso. A qualsiasi teoria matematica di forma molto generale (relativa all'algebra, alla geometria o a qualsiasi altro campo matematico) si può associare un topos, chiamato topos classificatore della teoria, che ne incarna le caratteristiche essenziali (vale a dire, precisamente quelle caratteristiche che sono invarianti sotto una nozione generale di equivalenza delle teorie). Ciò ci consente di studiare le teorie studiando i loro topos classificatori. Diverse teorie possono essere classificate dallo stesso topos; ciò significa precisamente che descrivono le stesse strutture in lingue diverse. L'esistenza di diverse teorie classificate dallo stesso topos si traduce, a livello tecnico, nell'esistenza di molteplici rappresentazioni per quel topos. Quest'ultimo può quindi essere utilizzato come un "ponte" per trasferire proprietà, nozioni e risultati attraverso quelle teorie.
Nel corso degli ultimi anni, ho sviluppato una serie di metodi e tecniche interdisciplinari per utilizzare efficacemente i topoi come "ponti" unificanti e, nel farlo, ho scoperto una serie di connessioni tra diverse teorie matematiche che erano precedentemente nascoste e, in molti casi, persino insospettate. Questa intuizione è stata supportata prima da alcuni risultati iniziali e poi confortata negli ultimi anni da nuove prove, alcune delle quali hanno fornito la soluzione a problemi di lunga data. Finora è stato prodotto un corpo sostanziale di risultati matematici: questo include una serie di applicazioni approfondite in campi distinti come Algebra, Geometria, Topologia, Analisi funzionale, Teoria dei modelli e Teoria della dimostrazione.
Lo scopo di questo articolo è quello di fornire un'introduzione concettuale, accessibile ai non specialisti, alla teoria dei "ponti" topos-teorici. 1 L'ultima sezione del documento è più tecnica e richiede una familiarità di base con la logica e la teoria delle categorie per essere correttamente compresa. 2
Il concetto di unificazione
Prima di procedere oltre, chiariamo il significato del termine "unificazione", poiché è un po' ambiguo e può essere utilizzato con significati diversi.
Unificazione 'statica' e 'dinamica'
Possiamo distinguere due diversi tipi di unificazione: "statica" e "dinamica".
Con l'unificazione 'statica' (attraverso la generalizzazione ), due concetti sono visti come istanze speciali di un concetto più generale:
I risultati che si applicano al concetto generale possono essere specializzati per produrre risultati sui due concetti più particolari.
Con l'unificazione 'dinamica' (mediante costruzione ), invece, due oggetti sono correlati tra loro tramite un terzo (solitamente costruito a partire da ciascuno di essi), che funge da 'ponte' consentendo il trasferimento di informazioni tra di essi:
Il trasferimento di informazioni nasce dal processo di "traduzione" delle proprietà (o costruzioni) dell'"oggetto ponte" in proprietà (o costruzioni) dei due oggetti.
Chiamiamo la prima forma di unificazione "statica" alla luce del fatto che riconoscere due concetti diversi come casi particolari di uno più generale non offre di per sé un modo per trasferire informazioni tra di loro. Ad esempio, il fatto che sia i preordini sia i gruppi siano istanze particolari della nozione generale di categoria non fornisce di per sé un mezzo per trasferire risultati sui preordini a risultati sui gruppi, o viceversa.
D'altro canto, la seconda forma di unificazione consente un trasferimento 'dinamico' di informazioni tra i due oggetti dati. Infatti, il terzo oggetto che è associato o costruito da ciascuno dei due oggetti ammette due diverse 'rappresentazioni', corrispondenti ai due diversi modi di costruirlo da ciascuno dei due oggetti. Un tale oggetto produce quindi 'ponti' tra i due oggetti dati nel senso che le informazioni possono essere trasferite tra loro traducendo proprietà (o costruzioni) dell'oggetto ponte in proprietà (o costruzioni) dei due oggetti, sfruttando le sue due diverse rappresentazioni.
Illustriamo la differenza tra questi due tipi di unificazione usando alcuni notevoli esempi matematici.
Fornendo un sistema in cui tutti i soliti concetti matematici possono essere espressi rigorosamente, la teoria degli insiemi ha rappresentato il primo serio tentativo della logica di unificare la matematica, almeno a livello di linguaggio. Successivamente, la teoria delle categorie ha fornito un linguaggio astratto alternativo in cui la maggior parte della matematica può essere formulata e, come tale, ha rappresentato un ulteriore progresso verso l'obiettivo di "unificare la matematica". In ogni caso, entrambi questi sistemi realizzano un'unificazione "statica" in quanto, mentre ciascuno di essi fornisce un modo per esprimere e organizzare la matematica in un unico linguaggio, non offrono di per sé metodi efficaci per un effettivo trasferimento di conoscenza tra campi distinti.
D'altro canto, la teoria dei "ponti" topos-teorici fornisce un modo sistematico per confrontare tra loro teorie matematiche distinte e per trasferire conoscenza tra di esse. In questo contesto, i due oggetti da mettere in relazione tra loro sono teorie matematiche distinte che condividono un "nucleo semantico" comune, mentre l'oggetto ponte è un topos di Grothendieck che rappresenta precisamente questo "nucleo" comune.
Poiché un dato "oggetto ponte" può in generale interconnettere non solo due oggetti, ma molte coppie diverse di oggetti, così nell'ambito della teoria dei topos, per ogni topos esistono infinite teorie matematiche diverse ad esso associate (attraverso la costruzione del topos classificativo).
Altri esempi di unificazione dinamica si verificano certamente in matematica; infatti, gli invarianti sono sempre fonti di "ponti" tra oggetti su cui sono definiti. Quindi, ad esempio, il gruppo fondamentale di uno spazio topologico può essere utilizzato come ponte per trasferire informazioni tra spazi topologici, nel senso che se due spazi topologici hanno gruppi fondamentali isomorfi, allora certe proprietà topologiche, come la semplice connettività, possono essere trasferite attraverso gli spazi. Allo stesso modo, i gruppi possono essere utilizzati per classificare le geometrie, come nel programma di Erlangen di Klein, ecc.
L'aspetto sorprendente dei topoi è che, a differenza della maggior parte degli invarianti considerati in matematica, essi ci permettono di confrontare e interconnettere efficacemente teorie matematiche che possono appartenere a diversi sottocampi della matematica.
L'idea di "Bridge"
In genere si è interessati a confrontare coppie di oggetti tra cui esiste un qualche tipo di relazione.
Per trasferire informazioni tra oggetti correlati da una data relazione, è quindi di fondamentale importanza identificare (e, possibilmente, classificare) le proprietà degli oggetti che sono invarianti rispetto a tale relazione.
A seconda dei casi, questo può essere un compito ragionevolmente gestibile o irrimediabilmente difficile. Infatti, una relazione tra due oggetti dati è generalmente un'entità astratta, che vive in un contesto ideale che è normalmente diverso da quello in cui giacciono i due oggetti.
Diventa quindi di fondamentale importanza identificare entità più concrete che potrebbero fungere da "ponti" che collegano i due oggetti dati. Possiamo pensare a un oggetto ponte che collega due oggetti a e b come un oggetto u che può essere "costruito" da uno qualsiasi dei due oggetti a e b , e che ammette due diverse rappresentazioni f(a) e g(b) correlate da un qualche tipo di equivalenza ≃, la prima rappresentazione essendo in termini dell'oggetto a e la seconda in termini dell'oggetto b :
I trasferimenti di informazioni derivano dal processo di "traduzione" delle proprietà ≃- invarianti (o delle costruzioni) dell'"oggetto ponte" u in proprietà (o costruzioni) dei due oggetti a e b utilizzando le due diverse rappresentazioni di u . Si noti che l'invarianza rispetto a ≃ è essenziale per poter considerare la data proprietà (o costruzione) u sia dal punto di vista di a , utilizzando f, sia dal punto di vista di b , utilizzando g . Naturalmente, un tale "ponte" è più o meno utile a seconda che le "codifiche" f e g siano sufficientemente ben comportate da consentire autentici "sbrogli" della data proprietà (o costruzione) f(a) (rispettivamente di g[b] ) in termini di proprietà (o costruzioni) a (rispettivamente di b ).
L'idea di "ponte" è strettamente correlata a quella di "costruzione invariante". Dati due insiemi I e O e due relazioni di equivalenza ≃I e ≃O rispettivamente su I e su O , possiamo definire una costruzione invariante f: (I,≃I) → (O,≃O) come una funzione f: I → O che rispetta le relazioni di equivalenza (vale a dire, tale che ogni volta che x ≃I y, f(x) ≃O f(y) ). Diciamo che f è conservativa se riflette le relazioni di equivalenza (vale a dire, ogni volta che f(x) ≃O f(y) , x ≃I y ). Data una costruzione invariante f: (I, ≃I) → (O, ≃O) , un oggetto ponte che collega due oggetti x , y ∈ I è un oggetto b ∈ O tale che b ≃O f(x) e b ≃O f(y) . Data una costruzione invariante conservativa f: (I, ≃I) → (O, ≃O) , gli oggetti ponte in O , considerati fino a ≃O -equivalenza, possono essere pensati come oggetti classificatori, poiché possono essere presi come rappresentanti canonici delle classi di ≃I -equivalenza.
Naturalmente, un "ponte" di questo tipo è molto utile per classificare proprietà ≃I -invarianti nei casi in cui è più gestibile lavorare con oggetti di tipo O che con oggetti di tipo I , o quando la relazione ≃O è più trattabile della relazione ≃I .
Come vedremo più avanti, nel contesto della teoria dei 'ponti' topos-teorici gli oggetti da confrontare tra loro sono teorie matematiche (formalizzate all'interno di una sorta di logica del primo ordine), mentre la costruzione invariante è data dalla costruzione topos classificante.
Traduzioni strutturali
Il metodo bridge può essere interpretato linguisticamente come una metodologia per tradurre concetti da un contesto a un altro. Ma di che tipo di traduzione si tratta? In generale, distinguiamo due approcci alla traduzione essenzialmente diversi:
1) l' approccio "orientato al dizionario" o "dal basso verso l'alto", che consiste nella ridenominazione basata sul dizionario delle singole parole che compongono le frasi, e
2) l' approccio "orientato all'invariante" o "dall'alto verso il basso", che consiste nell'identificazione di concetti appropriati che dovrebbero rimanere invarianti nella traduzione, e nella successiva analisi di come questi invarianti possono essere espressi nelle due lingue.
Come ci si aspetterebbe, le traduzioni del primo tipo, sebbene occasionalmente utili, non sono intrinsecamente profonde in quanto non cambiano la "forma" delle frasi su cui operano e quindi non forniscono modi significativamente diversi per trasmettere un certo messaggio. D'altro canto, le traduzioni orientate all'invariante sono soggette a cambiare significativamente la forma sintattica utilizzata per esprimere un certo significato e quindi a generare nuove intuizioni e punti di vista sul messaggio dato. Torneremo su questo argomento più avanti.
Le traduzioni attraverso distinte teorie matematiche realizzate tramite bi-interpretazioni tra di esse sono del primo tipo. Infatti, la bi-interpretazione agisce come una sorta di dizionario per tradurre formule scritte nel linguaggio della prima teoria in formule scritte nel linguaggio della seconda. D'altro canto, le traduzioni "basate sui ponti", e in particolare quelle topos-teoriche, sono del secondo tipo. Infatti, nel contesto della teoria dei "ponti" topos-teorici, le proprietà invarianti sono invarianti topos-teoriche definite sui topos, e l'espressione di questi invarianti in termini delle due diverse teorie è essenzialmente determinata dalla relazione strutturale tra il topos e le sue due diverse rappresentazioni.
Alcuni esempi di "ponti" nella scienza
Per illustrare il concetto di "ponte" come spiegato sopra, discutiamo alcune situazioni scientifiche che possono essere naturalmente interpretate in termini di "ponti".
Astronomia: la "stella classificatrice" di un pianeta
L'universo è composto da diverse stelle, attorno alle quali ruotano determinati corpi, chiamati pianeti. Diversi pianeti possono ruotare attorno a una data stella, ma ogni pianeta ruota attorno a una singola stella, che chiamiamo stella di classificazione del pianeta .
La traiettoria che un dato pianeta compie attorno alla sua stella classificatrice è determinata da due serie di ingredienti, vale a dire i parametri che determinano l'ellisse e il periodo di rivoluzione attorno alla sua stella classificatrice. Questa coppia (parametri dell'ellisse e periodo di rivoluzione) per un dato pianeta determina la sua orbita e la sua stella classificatrice. La stella classificatrice può essere identificata in modo univoco da qualsiasi pianeta che sia classificato da essa (equivalentemente, dalla coppia ad essa associata) e rappresenta il punto di vista "giusto" da cui si dovrebbe osservarla (in effetti, il moto ellittico di un pianeta sembra molto strano se osservato da qualsiasi altro punto di vista che non sia uno dei suoi fuochi).
Diversi pianeti che ruotano attorno alla stessa stella possono essere studiati in relazione tra loro usando le proprietà della stella di classificazione comune, che quindi agisce come un "oggetto ponte" tra di loro. Infatti, ci sono relazioni naturali tra le proprietà dei pianeti e le proprietà delle stelle attorno alle quali ruotano.
Per avere un'idea dell'uso dei "ponti" in astronomia, si pensi ad esempio alle leggi di Keplero. La proprietà per cui tutti i pianeti che ruotano attorno a una data stella hanno orbite ellittiche può essere considerata una proprietà invariante delle stelle (o, più in generale, dei corpi attorno ai quali ruotano altri corpi). L'orbita concreta di un dato pianeta può essere vista come derivante dal processo di espressione di questa invariante astratta "le orbite sono ellittiche" in termini della coppia concreta associata al dato pianeta. Quindi le forme delle orbite di due pianeti distinti attorno alla stessa stella rappresentano istanze diverse di un modello astratto unico.
Inoltre, spesso accade che, esaminando le caratteristiche di un dato pianeta, si possano dedurre proprietà della sua stella classificatrice, e che queste proprietà possano a loro volta essere "riflesse" in proprietà di un altro pianeta che ruota attorno alla stessa stella. Ad esempio, la terza legge di Keplero afferma che il rapporto tra il quadrato del periodo orbitale di un pianeta e il cubo del semiasse maggiore della sua orbita è una costante che è caratteristica della stella e non dipende dal dato pianeta. Questo principio può quindi essere considerato come una proprietà invariante delle stelle (o, più in generale, dei corpi attorno ai quali ruotano altri corpi), e le traiettorie concrete fatte dai pianeti possono essere interpretate come diverse manifestazioni di questa proprietà astratta nel contesto dei pianeti distinti (coppie associate ai pianeti). La comune stella classificatrice può quindi essere utilizzata come un "ponte" per trasferire informazioni tra i due pianeti; in effetti, l'indagine sulla traiettoria concreta di un pianeta può consentire di dedurre la costante caratteristica della sua stella di classificazione, e questa informazione a sua volta vincola la traiettoria concreta di qualsiasi altro pianeta che gli ruoti attorno.
Linguistica: 'Ponti' per la traduzione
Una caratteristica fondamentale di una traduzione è l'insieme delle proprietà astratte dei testi (ad esempio, il "significato", la "musicalità", le caratteristiche "strutturali", ecc.) che la traduzione lascia invariate .
Una traduzione letterale procede in modo bottom-up o orientata al dizionario, in quanto consiste, in termini generali, nel suddividere il testo dato in frasi e poi in parole o brevi espressioni, sostituendo ogni parola (o breve espressione) nella prima lingua con una parola (o breve espressione) nell'altra lingua che le corrisponde secondo un dato dizionario, e quindi assemblando queste parole insieme "dal basso verso l'alto", seguendo la stessa o al massimo una struttura grammaticale simile a quella in cui le parole corrispondenti (o brevi espressioni) erano disposte nel testo originale. Da questa descrizione, è chiaro che ciò che viene preservato da questo tipo di traduzione è la struttura sintattica delle frasi che compongono i testi, ma non necessariamente il significato o la musicalità dei testi, che è ciò che ci si aspetterebbe naturalmente da una buona traduzione. Ecco perché le traduzioni automatiche o letterali non sono sempre possibili e, anche quando lo sono, sono spesso piuttosto insoddisfacenti, soprattutto quando si verificano tra lingue che hanno modi sintattici radicalmente diversi di esprimere un dato significato.
Ciò solleva naturalmente la seguente domanda: che tipo di approccio si dovrebbe adottare per ottenere una buona traduzione? A differenza di una traduzione letterale, una buona traduzione dovrebbe procedere in modo top-down o orientato all'invariante, iniziando con l'identificazione di un insieme di proprietà astratte dei testi che si vorrebbero preservare nella traduzione, e quindi utilizzando una qualsiasi di queste proprietà P (o l'"intersezione" di tutte queste proprietà) come un "ponte" per la traduzione tra le due lingue, come segue. Per ciascuna di queste P si guarda al modo in cui P è meglio espresso nella prima lingua, e poi al modo in cui P può essere meglio trasmesso nella seconda lingua; le espressioni risultanti vengono quindi impostate in modo che corrispondano tra loro nella traduzione.
Si noti che in una traduzione di questo tipo, non è necessariamente la struttura sintattica che deve essere preservata, come nel caso di una traduzione letterale, ma piuttosto le proprietà definite all'inizio come invarianti scelte. Mentre una traduzione letterale non è né particolarmente interessante né concettualmente profonda, in quanto consiste essenzialmente in una ridenominazione o rietichettatura dei costituenti primitivi di un testo secondo un dizionario, una buona traduzione letteraria è spesso un'opera d'arte che può rivelare nuovi aspetti di un testo che erano, in un certo senso, "nascosti" nella versione originale, consentendo nuove e diverse interpretazioni del messaggio.
Genetica: il DNA come 'ponte'
Il DNA (umano) incarna molte delle caratteristiche essenziali dell'individuo a cui appartiene, ma è invariante rispetto alle caratteristiche contingenti dell'individuo, come il suo particolare aspetto fisico in un dato momento (o la sua età).
Il DNA è essenzialmente unico per ogni individuo, ma può essere estratto da lui/lei in molti modi diversi (ad esempio, da diverse parti del corpo). Molte caratteristiche specifiche degli individui si riflettono in particolari caratteristiche del loro DNA.
Ciò rende il DNA un oggetto particolarmente adatto per fungere da "ponte" per il trasferimento di informazioni tra diversi individui. Ad esempio, la scoperta di somiglianze tra il DNA di diversi individui può rivelare relazioni parentali tra loro o predisposizioni simili a determinate malattie.
Si noti che il tipo di intuizione che l'indagine del DNA può fornire non può essere ottenuto con metodi alternativi: in effetti, solo utilizzando questo livello di analisi si possono svelare le caratteristiche "nascoste" degli individui codificate nel DNA.
Ciò è simile a ciò che accade nella teoria dei topoi: la nozione di un topos classificatore di una teoria svolge il ruolo di una sorta di DNA della teoria, la cui indagine può rivelare aspetti della teoria che sono appena visibili con altre tecniche. Come in genetica si studia come le modifiche del DNA influenzano le caratteristiche di un individuo, così nella teoria dei topoi si può studiare l'effetto che le operazioni topos-teoriche sui topoi hanno sulle teorie da esse classificate.
Ideale = Reale?
I ponti abbondano sia in matematica che in altri campi scientifici, e possono essere considerati 'responsabili' (almeno astrattamente) della 'genesi' delle cose e della natura della realtà come la percepiamo. L'idea di ponte è un'astrazione, ma, cosa interessante, i ponti che sorgono nelle scienze sperimentali possono spesso essere identificati con oggetti fisici reali. Infatti, le situazioni più illuminanti si verificano quando questi oggetti ideali ammettono rappresentazioni concrete , consentendoci di contemplare le dinamiche della 'differenziazione dall'unità' in tutti i suoi aspetti.
I topoi di Grothendieck ci permettono di materializzare un numero enorme di oggetti ideali e quindi di stabilire ponti efficaci tra una grande varietà di contesti diversi. In generale, cercare rappresentazioni "concrete" di "concetti immaginari" può portare alla scoperta di ambienti più "simmetrici" in cui i fenomeni possono essere descritti in modi naturali e unificati.
Toposes come 'Ponti'
Ora che abbiamo estratto le caratteristiche concettuali essenziali della tecnica del "ponte", possiamo procedere a illustrare la sua implementazione nel contesto della teoria dei topos.
La metodologia generale
La teoria dei "ponti" topos-teorici è incentrata sul concetto di topos di Grothendieck. 3 La teoria del topos di Grothendieck è scritta in linguaggio categoriale, ma, a differenza della teoria delle categorie, è molto più espressiva, a causa di un ulteriore grado di libertà implicito nella definizione di topos. In effetti, una categoria può essere pensata come una coppia di insiemi correlati da una qualche struttura che soddisfa certe proprietà; qualsiasi insieme può essere considerato una categoria, ma la maggior parte delle categorie che emergono in matematica non sono di questa forma. In effetti, il concetto di categoria ha, rispetto alla nozione di insieme, un ulteriore grado di libertà.
I topos sono oggetti matematici che sono costruiti da una coppia, chiamata sito, costituita da una categoria C e da una nozione generalizzata di copertura J su di essa in un certo modo canonico (chiamata topologia di Grothendieck). Il processo che produce un topos da un dato sito può essere descritto come una sorta di "completamento" rispetto a certe operazioni categoriali rispetto alle quali la categoria C potrebbe non essere chiusa. Formalmente, un topos è definito come una categoria Sh(C, J) di fasci su un sito ( C, J ).
Si possono considerare rivestimenti diversi su una data categoria, il che generalmente porta a topoi non equivalenti; questo conferisce alla nozione di topos un grado di libertà in più rispetto a quella di categoria. L'esistenza di questi tre 'gradi di libertà' impliciti nel concetto di topos (due per la nozione di categoria e uno per quella di topologia di Grothendieck) può essere sfruttata per costruire 'universi matematici' in cui le teorie matematiche trovano la loro dimora naturale e possono essere efficacemente confrontate tra loro.
Infatti, grazie al lavoro pionieristico di Makkai e Reyes negli anni Settanta, 4 a qualsiasi teoria matematica (di forma generale specificata, tecnicamente parlando una teoria geometrica ) si può associare canonicamente un topos chiamato topos classificante di T, che rappresenta il quadro naturale in cui la teoria dovrebbe essere indagata, sia in sé che in relazione ad altre teorie. Due teorie aventi gli stessi topos classificanti (fino all'equivalenza) si dicono Morita-equivalenti .
L'esistenza di teorie Morita-equivalenti tra loro si traduce, a livello di siti, nell'esistenza di siti diversi che generano lo stesso topos (a meno di equivalenza); infatti, a qualsiasi teoria si può canonicamente associare un sito in modo tale che il topos costruito a partire da esso possa essere identificato con il suo topos classificatore.
Il topos classificatore di una teoria può essere efficacemente utilizzato come un "ponte" per trasferire informazioni tra la teoria e qualsiasi altra teoria che sia Morita-equivalente ad essa, come segue. Per qualsiasi data proprietà o costruzione di topos che è invariante rispetto all'equivalenza di topos (si richiede questa invarianza perché il topos classificatore è determinato solo fino all'equivalenza), si cerca di esprimerla prima in termini di una teoria e poi in termini dell'altra; a condizione che si ottengano caratterizzazioni appropriate che collegano proprietà di teorie e proprietà dei loro topos classificatori (equivalentemente, caratterizzazioni che collegano proprietà di siti e proprietà di topos). Ciò porterà a una relazione logica tra proprietà delle due teorie scritte nei rispettivi linguaggi:
Tecnicamente, il trasferimento di informazioni tra le due teorie è realizzato associando alle due teorie siti di definizione adatti per il loro topos classificatorio (o oggetti di tipo diverso che rappresentano il loro topos classificatorio) ed esprimendo invarianti teorico-topos sul dato topos classificatorio in termini di questi due siti mediante 'caratterizzazioni del sito':
Un aspetto sorprendente di questa tecnica, oltre al suo livello di generalità (infatti, può essere applicata a teorie matematiche appartenenti essenzialmente a qualsiasi campo matematico), è il fatto che può essere automatizzata in molti casi. Infatti, utilizzando i metodi della Topos Theory si possono ottenere caratterizzazioni del tipo di cui sopra per diversi invarianti, che valgono uniformemente per qualsiasi teoria o almeno per ampie classi di teorie (e per certe classi di invarianti tali caratterizzazioni possono persino essere stabilite in modo puramente meccanico); in presenza di una Morita-equivalenza, queste caratterizzazioni saranno quindi in grado di agire come gli 'archi' di un 'ponte' che collega le due teorie, rendendo possibile il trasferimento di informazioni tra di esse.
Come è naturale aspettarsi, le traduzioni tra proprietà di teorie equivalenti a Morita realizzate tramite la tecnica del "ponte" possono essere molto sorprendenti. Infatti, una proprietà invariante astratta unica definita a livello topos-teorico può essere espressa in modi completamente diversi in termini di diversi siti di definizione di un dato topos.
Come esempio, si consideri la proprietà di completezza di una teoria: una teoria geometrica si dice completa se ogni asserzione geometrica scritta sul suo linguaggio è o dimostrabilmente vera o dimostrabilmente falsa nella teoria. Dimostrare che una teoria è completa è generalmente una questione difficile. Tuttavia, questa proprietà è equivalente a una semplice proprietà invariante del topos classificante (vale a dire, la sua proprietà di essere bivalore), ammettendo riformulazioni alternative in termini di altri siti di definizione.
Ad esempio, 5 questa proprietà invariante è equivalente alla proprietà di incorporamento congiunto su una categoria C (vale a dire, la proprietà che due oggetti qualsiasi nella categoria possono essere mappati su un terzo) nel caso di un sito atomico non banale (C op , Jat) (tenendo presente che la topologia atomica Jat sul duale di una categoria C che soddisfa la proprietà di amalgamazione è la topologia di Grothendieck che ha come setacci di copertura proprio quelli non vuoti). Si noti che la proprietà di incorporamento congiunto su una categoria è generalmente un modo molto più semplice per verificare una proprietà rispetto alla completezza di una teoria; tuttavia, per le teorie T il cui topos classificante è un topos di fasci su un sito atomico (Cop, Jat) , le due proprietà (vale a dire, completezza di T e proprietà di incorporamento congiunto di C ) corrispondono tra loro sotto un "ponte" topos-teorico, che consente quindi di stabilire l'una verificando l'altra. 6
Perché i topoi?
Ci si potrebbe chiedere cosa renda i topoi di Grothendieck così efficaci nel fungere da "ponti" per collegare tra loro diverse teorie matematiche. Ci sono diverse ragioni per questo, che possiamo riassumere come segue:
Generalità : a differenza della maggior parte degli invarianti utilizzati in matematica, il livello di generalità degli invarianti topo-teorici è tale che sono adatti per confrontare teorie matematiche (di primo ordine) di praticamente qualsiasi tipo.
. Espressività : molti invarianti importanti che emergono in matematica possono essere espressi come invarianti topo-teorici.
. Centralità : il fatto che gli invarianti topo-teorici spesso si specializzino in proprietà o costruzioni importanti di interesse matematico o logico naturale è una chiara indicazione della centralità di questi concetti in Matematica. Infatti, qualsiasi cosa accada a livello di topos ha ramificazioni "uniformi" nella Matematica nel suo complesso.
Flessibilità tecnica : i topoi sono universi matematici molto ricchi in termini di struttura interna; inoltre, hanno una teoria di rappresentazione molto ben strutturata, che li rende estremamente efficaci dal punto di vista computazionale se considerati come "ponti".
